背包问题

给定n中物品和一个容量为c的背包，物品i的重量为Wi,其价值为Vi,0-1背包问题是如何选择装入背包的物品（物品不可分割），使得装入背包的物品的价值为最大。

限界函数

procedure BOUND( p , w, k , M)

∥p为当前效益总量; w 为当前背包重量; k 为上次去掉的物品; M 为背包容量; 返回一个新效益值∥

global n , P( 1∶n ) ,W( 1∶n)

integer k , i ; real b , c , p , w, M

b←p; c←w

for i←k + 1 to n do

c←c + W( i )

if c < M then b←b + P( i )

else return ( b + (1 - ( c - M)/ W( i) ) * P( i ) )

endif

repeat

return ( b)

end BOUND

背包问题的回溯法求解

procedure BKNAP1( M, n ,W, P, fw , fp , X)

∥M 是背包容量。有n 种物品, 其重量与效益分别存在数组W(1∶n) 和P(1∶n) 中; P(i)/W(i)≥P(i+1)/W(i+ 1)。fw 是背包的最后重量, fp 是背包取得的最大效益。X(1∶n) 中每个元素取0或1值。若物品k 没放入背包, 则X(k)=0 ;否则X(k)=1

integer n , k , Y(1∶n) , i , X(1∶n) ; real M,W( 1∶n) , P(1∶n) , fw , fp , cw , cp;

   cw←cp←0 ; k←1; fp← -1 ∥cw 是背包当前重量;cp 是背包当前取得的效益值∥

loop

while k≤ n and cw + W(k) ≤M do ∥将物品k 放入背包∥

   cw←cw + W(k) ; cp←cp + P(k) ;Y(k) ←1; k← k + 1

   repeat

if k > n then fp←cp ; fw←cw;k←n;X←Y ∥修改解∥

   else Y( k)←0 ∥超出M, 物品K 不适合∥

endif

   while BOUND( cp、cw, k , M) ≤fp do ∥上面置了fp 后,BOUND = fp∥

   while k≠0 and Y( k)≠1 do

k←k - 1 ∥找最后放入背包的物品∥

repeat

if k = 0 then return endif ∥算法在此处结束∥

   Y( k) ←0; cw←cw - W( k) ; cp←cp - P( k) ∥移掉第k 项∥

repeat

k←k + 1

repeat